固定序列\ (u=(u_i) _{我\ {{\ mathbb {N}}}}, \ varphi=(\ varphi _i) _{我\ {{\ mathbb {N}}}} \),我们考虑加权复合算子\ (W_ {u \ varphi} \)与符号\ (u, \ varphi \)定义为\ (x=(x_i) _{我\ {{\ mathbb {N}}}} \ mapsto u (x \保监会\ varphi)=(u_ix_ {\ varphi _i}) _{我\ {{\ mathbb {N}}}} \)。我们刻画了算子\(W_{u，\varphi})作用于加权巴纳赫空间\(l^p(v)\)、\(1\le p\le \ inty \)和\(c_0(v)\)时的连续性和紧性，在\({{\mathbb {N}}}\)上有一个加权序列\(v=(v_1)_{i\in {{\mathbb {N}}}\)。我们将这些结果推广到算子\(W_{u，\varphi}\)作用于类型为\(l_p(\mathcal {V})的序列(LF)空间和类型为\(a_p(\mathcal {V})\)的序列(PLB)空间的情况，其中\(p\in [1，\ inty] \cup \{0\}\)和\(\mathcal {V}\)是\({{\mathbb {N}}}\)上的权重系统。我们还刻画了作用于\(l_p(\mathcal {V})\)和\(a_p(\mathcal {V})\)的\(W_{u，\varphi}\)的其他拓扑性质，如有界性、反身性和成为Montel。
移位算子之所以引起人们的兴趣，是因为许多经典算子可以被看作是这样的算子，也因为它们多年来一直是算子理论家最喜欢的试验场。所有移位的基本模型是(单边)向后移位
Banach空间中的移位算子最早由Rolewicz[34]研究，他证明对于序列空间上向后移位B的任何倍数cB，或为超循环。(单侧)后移的推广是(单侧)加权后移
其中是一个非零标量序列，称为权重序列。例如，整个函数空间上的微分算子D可以看作是一个特定的加权倒移算子。的确，我们有
其中表示由给定的正则基，for和，其中。
对序列或函数的各种空间上的(加权)移位算子的研究，使得在拓扑传递性、超环性和线性混沌等线性算子的动态性质的设定中获得了数量惊人的深刻结果成为可能(参见，例如，[10,11,17,20,21,28,29,35,36,40]以及其中的参考文献)。
近年来，研究人员的注意力被吸引到Banach空间以及局部凸Hausdorff空间(如fr
空间或(LB)-空间)上的线性算子的幂有界性、拓扑性和平均遍历性的研究上(参见，例如[1,2,3,14,32,33])。对函数空间或序列空间中加权复合算子的这些性质的研究已经引起了特别的兴趣(参见[5,7,8,9,15,16,23,24,25,26,37]及其中的参考文献)。当一个加权复合算子作用于一个序列空间时，它是这种类型的
(如果是内射，该运算符也称为加权伪移位)。作用于序列空间的加权复合算子是加权移位算子的推广。注意，if for every, then变成由，for定义的乘法运算符。对于每一个，操作符变成由，For定义的复合操作符。
由于紧算子或Montel算子的一些性质与(一致)平均遍历性密切相关(参见，例如[4]及其参考文献)，本文的目的是研究和表征在序列(LF)-型空间和序列(PLB)-型空间中的加权复合算子的连续性、有界性、紧性和Montel或自反性。K?the梯队空间和K?the共梯队空间分别是和类型的空间，用于特定的权重系统。
本文组织如下。在第2节中，我们回顾了(LF)-和(PLB)-空间以及作用于这些空间的算子的一般定义和结果。第3节致力于研究加权复合算子的拓扑性质。特别是，在3.1节中，我们引入了序列(LF)-和(PLB)-空间，并给出了它们的相关性质。在3.2节中，对于定理3.4和3.12，我们确定了加权复合算子连续或紧作用于序列Banach空间的情况。算子在序列空间和中的连续性、有界性和紧性在3.3节(定理3.14、3.15和3.16)中得到了表征。定理3.17,3.18和3.19的(PLB)-情况)。第3.5节和第3.6节致力于确定作用于K?the阶梯形空间或作用于类型为带的序列(LF)-空间的加权复合算子分别为Montel或自反。
设E和F是两个局部凸Hausdorff空间(简称lcHs为局部凸Hausdorff空间)。我们用从E到f的所有连续线性算子的空间表示，特别地，(，resp.)表示被赋予强算子拓扑(被赋予在E的有界子集上一致收敛的拓扑，resp.)。以防万一，我们简单地写，和。
让E和F是两个禄和T是一个线性算子从E F .算子T叫做有限如果T E的一些0-neighborhood映射到一个有界的子集F .算子T叫做紧凑如果T E的一些0-neighborhood映射到一个相对紧凑的子集F .我们都表示空间的紧凑的线性算子从E F .我们观察,如果T是一个有界或紧凑的运营商从E为F,那么它必然是连续的,也就是说,。此外，如果T将E的有界子集映射到F的相对紧(相对弱紧)子集，则称为Montel(自反的)算子。当E是一个bornological lcHs时，T的连续性假设是不必要的，因为在这种情况下，从E到F的每个线性算子将E的有界子集映射到F的相对(弱)紧子集是连续的。如果F是自反性lcHs，那么每一个都是自反性的。如果E和F是Banach空间，那么一个线性算子是Montel的当且仅当，它是紧的。我们请读者参阅[27]了解更多细节。
下面我们回顾了一些必要的定义，并收集了关于(LF)-或(PLB)-空间和作用在这些空间中的算子的一些结果。我们首先考虑(LF)-空间的情况。
如果存在一个连续的frachce空间序列，且其拓扑符合每个包含都连续的最优局部凸拓扑，则称为(LF)-空间。在这种情况下，我们只需写。该序列被称为e的定义感应谱，本文定义了(LF)-空间为豪斯多夫空间。如果该空间是所有人的巴拿赫空间，则称为(LB)-空间。如果E的每一个有界子集B都被包含并且有界于某一点上，则称一个(LF)-空间为正则空间。每一个完全(LF)空间总是正则的。
(LF)空间可以满足更强的正则性条件。
设为(LF)-空间，(，resp.)表示E (of, for, resp.)的局部凸拓扑。假定(LF)-空间E满足Retakh的条件(M)(()，等)，如果存在E的子集的递增序列，使得对于所有满足的子集都是绝对凸0邻域
(职责)。满足条件(M)(()，等)的(LF)-空间称为无环(弱无环，等)。每个无环(LF)空间都是弱无环且完全的(参见[41，推论6.5])。
如果E的每一个紧子集K被包含并且在某些情况下被紧缩，则称(LF)-空间为紧可缩空间。如果E的每一个有界子B都包含在某一阶上且有界，且E的拓扑与B重合，则称(LF)空间为有界可缩空间;如果E中的每一个收敛序列都包含在某一阶上且收敛于此，则称(LF)空间E为序可缩空间。我们观察到，根据Grothendieck的因数分解定理[22,p.147]，上述所有条件都不依赖于定义E的归纳谱。
回想一下Wengenroth[41]的深层结果。
([41，定理6.4])。对于(LF)-空间，下列条件是等价的:
(1）
E满足条件(M);
(2）
E是有界可收的;
（3）
E是紧缩回;
（3）
E是顺序伸缩的。
(LF)-空间间算子连续性的刻画是众所周知的，是由Grothendieck给出的。在[31]中给出了作用于(LF)-空间之间的算子的有界性或紧性以及Montel或自反的性质(参见[16])，如下所示。
([31日§2.2])。设和是两个(LF)-空间。设为一个线性算子。以下断言是正确的:
(1）
假设F是正则的。算子T是有界的，当且仅当，存在这样的条件，对于所有的条件，并且限制是有界的。
(2）
假设F满足条件(M)，算子T是紧的，当且仅当，存在这样的条件，对于所有我们有，并且约束是紧的。
（3）
假设E是正则的，F满足条件(M)，算子T是Montel当且仅当，对于所有存在，且约束是Montel。
（4）
假设E是正则的，F满足条件()。运算符T是自反的，当且仅当，对于所有存在这样的条件且限制是自反的。
如果存在一个连续的(LB)空间序列，则称为(PLB)空间，使得E的拓扑是每个包含都连续的最粗局部凸拓扑。在这种情况下，我们只需写。显然，一个(PLB)-空间是完备的，只要它是一个完备的(LB)-空间，有无限个指标n。
在[6]中给出了作用于(PLB)-空间之间的算子的连续性、有界性和紧性的表征。我们在下面的结果中收集了这些特征。
(6,§2)。设为一个(PLB)-空间，使得连续包含具有所有的密集范围。设一个(PLB)空间，它是所有人的完整(LB)空间。设为一个线性算子。那么下列断言是正确的:
(1）
算子T是连续的，当且仅当，对于所有的存在，使得算子T有唯一的线性连续扩展。
(2）
算子T是有界的(紧的，等等)当且仅当，存在对所有算子T有唯一的线性扩展是有界的(紧的，等等)。
我们回顾[6]中的以下注释，这些注释对下一节很有用。
让我们成为一个(PLB)空间。设为的局部凸拓扑。
(1）
由定理2.3(1)的证明可知，对于所有的算子都存在这样的连续算子，并且在(PLB)-空间中，对于任何的(PLB)-空间都没有密集包含。
(2）
由定理2.3(2)的证明可知，在一个(PLB)-空间中没有密集包含的情况下，也存在这样的算子对所有都是有界的(紧的)。
在全文中，(其中)表示全值序列的空间，具有坐标收敛的局部凸(简称lc)拓扑。因此，是一个自反的fracimchet空间，其拓扑对偶是只有有限个非零坐标的全值序列的空间。特别地，当它被赋予强拓扑时，是一个(LB)-空间。
对于所有，设为一个可数的(严格)正序列族，称为权值，在。我们用序列表示，并假设满足以下两个条件:
(1）
为所有和;
(2）
对所有和。
家庭被称为重量系统。
给定一个权重系统，对于和，我们像往常一样定义
其中表示范数。For，我们设
显然，，是巴拿赫空间，并且是范数为的巴拿赫空间。由于连续包含于，因此Banach空间序列形成一个射影谱。因此，对于所有和，我们可以考虑阶梯形空间
这些空间被赋予了射影拓扑(如射影拓扑)，它们是具有相应半精定义的拓扑的fracimet空间。我们指出这些空间是K?the阶梯形空间。
fr
赋与归纳拓扑，即(，等)为(LF)-空间。
我们说上的权重系统满足条件(WQ)(或者是类型(WQ))，如果
然而，我们说系统满足条件(Q)(或者是类型(Q))，如果
(LF)-空间的正则性与条件(Q)和(WQ)是相关的，如Vogt[39]的以下定理所示。
设一个权重系统。那么下列属性成立:
(1）
对于，下列条件是等价的:
(i)
满足条件(WQ);
(2)
是正常的;
(3)
完成;
(iv)
是反射性的。
(2）
对于，下列条件是等价的:
(i)
满足条件(WQ);
(2)
是正常的;
(3)
就完成了。
（3）
对于，下列条件是等价的:
(i)
满足条件(Q);
(2)
是正常的;
(3)
就完成了。
Vogt[39]在(LF)-空间满足条件(M)和()时也进行了表征，如下结果所示。
设一个权重系统。
对于，(LF)-空间满足条件(M)当且仅当满足条件(Q)。
并且，当且仅当(LF)-空间满足条件(WQ)时，(LF)-空间满足条件()。(LF)-空间满足条件()当且仅当满足条件(Q)。
给定一个权重系统，我们为所有。然后，对于和，序列和巴拿赫空间形成归纳谱。因此，我们可以考虑共梯队空间
它们是(LB)-空间，当它们被赋予归纳拓扑时，即(，等)。我们指出这些空间是K?the共阶梯形空间。
(LB)-空间序列形成一个射影谱。因此，这些空间
具有射影拓扑，即，和是(PLB)-空间。我们观察到，通过[13，定理2.3和推论2.8]，每一个的协梯队空间都是完备的(LB)-空间。因此，是一个完整的(PLB)空间。对于(LB)空间，不需要是规则的。这种正则性是通过一个更强的权重系统条件来保证的。为了证明这一点，我们回想一下，给定一个权值递减的序列，如果给定这个序列，那么这个序列就被称为正则递减序列，如果存在这样的条件，在其商有界远离0的每一个子集上，所有的商也都有界远离0。由[13，定理3.7]可知，协梯级空间为正则当，且仅当，它是完全的当，且仅当，它满足条件(M)当，且仅当，它是(强)有界可缩的当，且仅当，序列是正则递减的。进一步，对于和，每一个协梯队空间满足条件(M)当且仅当它是(强)有界可缩的当，且仅当序列是正则递减的。
最后，我们指出上述引入的空间都是连续包含在密集范围内的。
对于fixed，我们可以通过设置来定义作用于符号的加权复合运算符
注意，这个运算符是由两个众所周知的运算符组合得到的:乘法运算符和复合运算符。事实上，当恒等映射在上时，就变成了一个乘法运算符，它被点向地定义为。如果for all，则变为定义为的复合操作符。显然，对每一对都是如此。
设X为非完备lcHs, Y为完备lcHs，并且。如果和Y连续包含在(这里表示X的补全)和中，则连续线性扩展重合于。实际上，如果我们用(by, resp.)表示((Y, resp.)的连续包含，则。因为，通过传递给X的补全，它遵循。因此,。
在本文中，我们用，for, of元素来表示。我们观察到，这个序列构成了一个无条件的基础。
我们首先研究了加权复合算子的连续性和紧性，当它作用于两个权值上时。我们首先把连续性描述如下。对于和的结果分别由[26，定理2.3]和[18，定理2.1]给出。
设v w是和上的两个权值。加权复合运算符当且仅当存在
(3.1)
这里的和被定义为0如果对于某些。
假设。那么对于每一个
(3.2)
修复。显然，如果，则(3.1)明显满足。所以，让。注意，这里
因此，应用(3.2)，我们得到
反之，假设(3.1)满足。然后为我们所拥有的一切
这意味着。
对于算子属于当且仅当，见[18，定理2.1]。这等价于这样的存在
(3.3)
设X是一个局部紧化的Hausdorff拓扑空间。如果X中的每个紧集K的原像也是X中的紧集，则连续映射称为固有映射，当且仅当，，这很容易证明。
如果我们假设它是一个真映射，那么该操作符属于当且仅当属于。证明如[6，命题4]所示，但有一些明显的变化。
定理3.4的证明给出了每一个
以类似的方式，证明了这一点
此外，我们观察到:
(1）
如果是一对一的，那么当，且仅当，存在对所有。在这种情况下，我们有
(2）
假定存在这样一种情况，对于所有，其中表示上的计数测度。如果存在这样的存在，那么对于所有人来说，和。
现在我们研究了作用于加权序列巴拿赫空间上的加权复合算子的紧性。为了得到算子紧性的一个表征，我们需要一些关于其对偶算子的辅助结果。对此，回想一下，如果v是上的权值，那么对于巴拿赫空间是巴拿赫空间(，等)的强对偶，与。此外，对偶算子的以下表示是有效的。
设v w是和上的两个权值。如果，那么和
p的共轭指数是什么?
假设。那么这个假设意味着。此外，对于每一个和我们有
这对每个人都适用。
因为证明是类似的。
为了得到所期望的紧凑性的表征，我们将需要以下两个结果。
让我们成为一张地图。那么，对于所有人来说，存在着这样的东西，对于所有人来说，我们都拥有。
的确，对于一个固定的集合。固定且，如果，则
一个矛盾。
设v w是两个权值。如果，则对偶算子映射到和。
根据命题3.8，我们得到
另一方面，由定理3.4，的连续性意味着存在这样的
现在，对于固定的和，存在这样的，对于所有。另一方面，根据备注3.9，存在着这样的东西，对于所有人，我们都有。因此，我们得到了所有这些
通过的任意性，这意味着属于。因为y也是任意的，所以它映射到，因此，
设X Y是两个lch。回想一下，如果，则T是连续的(连续的)。而且，也是连续的(continuous)和连续的(continuous)。
众所周知，不存在从into到自身的紧复合算子。另一方面，Singh和Manhas[38]建立了一个紧复合算子作用于的充分必要条件。文献[26]给出了类似的结果。在[18]中，作者刻画了中的加权复合算子的紧性。在接下来的结果中，我们在空间的设置中推广了这个特征，对于，没有对乘数u和映射的任何额外假设。
设v w是和上的两个权值。那么，当且仅当，
我们区分不同的情况和。
例:。假设算子是紧的。的有界子集，则可以得出该集合在。另一方面，序列弱收敛于0 in，这很容易证明。因此，在中弱收敛于0，从而表明该集合在中是相对弱紧的。因此，集合上的范数拓扑和弱拓扑必然重合。因此，在。自
论文如下。
现在，假设。根据定理3.4，这个条件意味着
为了证明这一点，我们固定了一个有界序列和集合。由于是一个自反的巴拿赫空间，因此存在一个子序列，为简单起见，又记为，使得弱收敛于某。因此,。由于也是弱连续的，因此该序列弱收敛于。
现在，对于一个固定的，假设存在这样的
对所有人来说。因此，我们得到了一切
因为弱in和弱因此，点上，存在这样的
对所有人来说。加起来，我们得到所有这些
这意味着。所以，证明是完整的。
例:。假设。然后和因此，根据引理3.10，对偶算子映射到和。因此，也是连续的，即w*-w*连续(见备注3.11)。此外，由于使用标准对偶性参数很容易遵循。既然序列弱收敛于0 in，那么序列必然弱收敛于0 in。这意味着该集合是相对弱*紧的。另一方面，根据和是一个有界集合的事实，我们得到它是一个相对紧的子集。因此，我们得到了的范数拓扑和弱*拓扑在集合上必然重合。因此，在。这意味着
现在，假设。根据定理3.4，这个条件意味着
为了证明这一点，我们固定了一个有界序列和集合。因为连续的和是一个fracimachemontel空间，我们有它是一个有界序列因此，它包含一个收敛于某的子序列。为简单起见，我们仍然用表示子序列。自
通过让，它遵循那个
这意味着，因此，。现在，为了得到这个命题，就像证明这个例子一样(只是用1代替p)
操作符属于当且仅当，我们有(参见[18，定理3.2])。这个等价于那个
如果和是真映射，则操作符属于当，且仅当它属于。
根据第2节和第3.3节的结果，我们可以刻画出在类型的序列(LF)-空间和类型的序列(PLB)-空间中的加权复合算子的连续性、有界性和紧性。
关于一类序列(LF)-空间中的加权复合算子，我们得到了以下结果。在第一个例子中，我们描述了连续性。
假设有两个权重系统。对于，以下属性是等价的:
(1）
是明确的;
(2）
是连续的;
（3）
因为一切事物都存在，所以一切事物都存在
这里的和被定义为0如果对于某些。
如果，以下属性是等价的:
(1）
是明确的;
(2）
是连续的;
（3）
因为一切事物都存在，所以一切事物都存在
如果和是真映射，则是连续的当且仅当是连续的。
的情况。显然，由闭图定理(f.i.， [27, p.57])，(2)暗示(1)，(1)暗示(2)。的确，它收敛于x in并且收敛于y in，那么它们分别收敛于x和y。既然如此，那就顺理成章了。这证明了的图是闭的。
(2)(3)。加权复合算子是连续的当且仅当，对于所有算子都是连续的。根据格罗滕迪克的分解定理[22，第147页]，可以得出连续当且仅当对所有事物存在定义良好且连续的条件。由于每个空间都是稠密的，根据定理2.3(1)，当且仅当存在这样的算子允许唯一的连续线性扩展。由于和空格和连续包含在，中(见注3.3)，因此暗示是连续的。本文现在应用定理3.4。
因为，我们只要观察到，当且仅当，对于所有的事物来说，存在这样的情况，就足够了
(3.4)
如果我们把(3.4)用于一些固定的，我们得到这个
由于是任意的，我们可以得出(2)(3)也为。
相反，假设(3)成立。然后根据第3.5条，我们得到，因此，根据定理2.3(1)，论文是成立的。
因为，我们可以论证，就像在这个例子的证明中那样，当且仅当，对于所有的人都存在这样的条件，即对于所有的人都存在这样的条件，即对于所有的人都存在这样的条件。所以，是连续的当且仅当是连续的。
用定理2.2(1)、2.3(2)、3.4和备注3.5证明了in的有界性。
假设有两个权重系统。以下断言是正确的:
(1）
如果和是正则的，那么当且仅当存在这样的条件，即对所有的存在都存在这样的条件，对所有的存在都存在
这里的和被定义为0如果对于某些。
(2）
如果和是正则的，那么当且仅当存在这样的条件，即对所有的存在都存在这样的条件，对所有的存在都存在
（3）
是正则映射，则当且仅当是有界的，则是有界的。
因为证明是按照定理3.14的证明，根据定理2.2(1)、2.3(2)、3.4和注释3.6来论证的。特别地，为1表明当且仅当(2)中的条件满足时，它是有界的。
因为我们观察到它是有界的当且仅当存在这样的条件，对所有的限制都是有界的。由定理2.3(2)结合注2.4可知，算子是有界的，当且仅当存在使得对于所有算子都是连续的，其中表示的lc-拓扑，即存在使得
根据上面的不等式，我们可以像定理3.14的证明一样，得出结论:这等价于要求满足条件(2)。
在接下来的结果中，我们刻画了型序列(LF)-空间中加权复合算子的紧性。
设两个权重系统。以下断言是正确的:
(1）
当且满足条件(M)，则紧当且仅当，存在这样的条件，对所有存在这样的条件，对所有存在
(2）
如果满足条件(M)且空间对所有都是稠密的，则当且仅当存在使得对所有都存在使得对所有都存在
（3）
如果满足条件(M)并且是一个真映射，则当且仅当是紧的，则是紧的。
让。根据定理2.2(2)，是紧致的当且仅当存在使得对所有约束都是紧致的。另一方面，根据定理2.3(2)，当且仅当存在对所有算子允许唯一的紧的线性扩展时，这是成立的。由于和的空间和连续包含在，必然，(见备注3.3)，即。因此，本文现在应用定理3.12。
因为证明是类似的，所以就省略了。
现在我们把注意力转向研究序列(PLB)-类型空间中的加权组合算子。根据定理2.3(1)和3.4，我们可以将的连续性描述如下。
假设有两个权重系统。以下断言是正确的:
(1）
如果，则是连续的，当且仅当，对于所有存在，对于所有存在，对于哪一个存在
(2）
如果，则是连续的，当且仅当，对于所有存在，对于所有存在，对于哪一个存在
(3.5)
（3）
如果是一个真映射，并且序列对所有序列都是正则递减的，那么当且仅当是连续的，则是连续的。
对于或，连续性的规定，就象定理3.14的证明一样，根据定理2.3(1)和3.4以及注释3.5和注释3.6来论证。特别地，for 1表明当且仅当(2)中的条件满足时，算子是连续的。
因为，每个空间都可能不稠密。因此，为了显示该语句，我们进行如下操作。
由注2.4(1)可知，当且仅当，对于所有的算子存在连续时，算子是连续的，其中表示共梯级空间的lc-拓扑。现在，对于一个固定的，让。那么集合B就包含在这里并且有界。的确，对所有人来说，我们都做到了
因此，B是的有界子集。从到的连续性意味着它是的有界子集。因此，有这样的存在
即满足式(3.5)。
反之，如果满足(3.5)，则根据备注3.5，这意味着算子成立，因此，论文成立。
在序列(PLB)型空间中加权复合算子的有界性的表征包含在下面的结果中。该证明依赖于定理2.2(1)、2.3(2)和3.4，以及备注3.5。
假设有两个权重系统。以下断言是正确的:
(1）
如果，则是有界的，当且仅当，存在这样的条件，即对于所有的事物都存在这样的条件，对于所有的事物都存在这样的条件
(2）
如果，则是有界的，当且仅当，存在这样的条件，即对于所有的事物都存在这样的条件，对于所有的事物都存在这样的条件
（3）
如果是一个真映射，并且序列对所有序列都是正则递减的，那么当且仅当有界时，序列是有界的。
因为根据定理2.2(1)、2.3(2)、3.4和注释3.5、3.6，证明如下:特别地，for 1表明当且仅当(2)中的条件满足时，算子是有界的。
让。由定理2.3(2)和注2.4可知，算子是有界的当且仅当存在使得所有算子都是有界的，其中表示(LB)-空间的lc-拓扑。
修复。有界的事实意味着存在一个0邻域U，它是有界的子集。因为是正则的，所以存在这样的，这样的，包含在这里并且有界。对于一个固定的集合。那么B就包含在这里并且有界(见定理3.14的证明)。因此，B是的有界子集。因此，存在这样的。它也是的有界子集。所以，存在这样的
即满足式(2)中的条件。反之，如果满足(2)中的条件，则由备注3.5为运算符。因此，论文随之而来。
在本节的最后结果中，我们描述了类型的序列(PLB)空间中加权组合算子的紧性。
假设有两个权重系统。以下断言是正确的:
(1）
如果，则是紧当，且仅当，存在这样的条件，对所有的存在这样的条件，对所有的存在
(2）
如果，对所有的序列都是密集的，并且序列对所有的序列都是正则递减的，那么，当且仅当，存在这样的存在，对于所有的存在这样的存在，对于所有的存在
（3）
如果是一个真映射，并且序列对所有序列都是正则递减的，那么当且仅当是紧的，则是紧的。
下面的论点是根据定理2.2(2)、2.3(2)和3.12来论证定理3.16的证明，以及后面的注释。
本节的结果推广到[6]中给定的作用于类型的序列(LF)-空间或类型的序列(PLB)-空间的复合算子的连续性、有界性和紧性的刻画。上述结果也推广到加权复合算子的情况下，在[31]中给出了作用于类型为的序列(LF)-空间上的乘法算子的连续性、有界性和紧性的表征。
在这一节中，我们给出了作用于K?the阶梯形空间和类型的序列(LF)-空间上的加权复合算子是Montel的充要条件。为此，我们回顾一个已知的关于空间，和的子集的相对紧性的结果(参见，f.i.，[30，第15章])，其中v是上的权值。对于，一个子集K是相对紧的，当且仅当，对于每一个存在，使得对于每一个。的子集K是相对紧的，当且仅当，对于每一个存在，使得对于每一个。
设为K?the矩阵，即for all和for all。表示由
下面对K?the梯队空间中有界集的有用描述是由Bierstedt, Meise和Summers[13]提出的。
设为K?the矩阵。对于的子集B是有界的，当且仅当存在满足。
在下面的结果中，我们刻画了作用于K?the梯队空间上的Montel加权复合算子。
设，是两个K?the矩阵，并设，随着增加。以下断言是正确的:
(1）
如果和，则是蒙特尔如果，且仅当，对于我们所拥有的每一个和
(3.6)
(2）
如果是一个合适的映射，那么对于每一个和，我们都有，则是蒙特尔当且仅当
(3.7)
我们只证明了。的证明是类似的，所以就省略了。
假设这是蒙特尔。为了证明这个条件是必要的，我们固定和，考虑这个集合。根据命题3.21，集合是有界的。通过应用这个假设，我们得到这个集合是相对紧凑的，因此，在。由于，可以得出，该集合在。另一方面，该序列弱收敛于0，从而暗示该序列弱收敛于0，因此，也在。但是，由于集合相对紧，的范数拓扑与的弱拓扑重合于。因此，序列收敛于0。这意味着(3.6)是满足的。的确，为了我们所有的一切
现在，假设条件满足了。为了证明它是Montel，我们固定一个有界集合B。鉴于命题3.21，存在这样的情况:要得出证明的结论，就足以证明集合对所有都是相对紧致的，也就是说，证明对每一个都存在这样的集合，对每一个都存在。因此，对于固定的和，根据(3.6)，我们可以为我们所有的选择
如果，那么。集合(如果，我们得到平凡的论题)。然后，对于每一个，我们得到
我们使用了这个是递增的事实。
这是一个递增的自我映射，也就是说，对所有人来说，这个映射不可能是合适的。例如，let For all。然而，严格递增，即，对于所有，意味着和，因此，是一个适当的映射(见注释3.6)。
这个案例的特点是完全明确的。所以，我们还需要证明同样的性质适用于。为了做到这一点，我们观察下面的内容。
设满足下列性质的所有序列lcHs X的族:
(a)
包裹体连续，范围致密;
(b)
对偶算子具有密集的值域。
我们指出，对于任意，由(b)，双算子是一个连续包含。
我们观察到，对于固定的和，如果复合算子(即，for)，则对偶算子由实际上，如果我们用复合运算符表示作用于(，resp.)并通过(，resp.)包含X (Y, resp.)，我们就得到了它。传递给双操作符，我们得到这个。既然是自反的，就与on重合。因为和是包含映射，所以对于每一个都是这样。
类似的结果适用于加权复合运算符，即，if和，for。
设为两个K?the矩阵，设为正递增。如果操作符为Montel，当且仅当为Montel。
我们首先观察到连续当且仅当连续(见定理3.14)且(，resp.)是(，resp.)的闭子空间。
如果是Montel，且B是有界子集(因此，of)，则该集合相对紧，因此，in。这意味着那是蒙特尔。
现在，假设这是蒙特尔。根据[19，推论2.3]，对偶算子是Montel。由于和是完备的(LB)-空间(参见f.i.，[12，命题10])，我们可以应用[19，推论2.4]得到对偶算子也是Montel。由于是的强双偶(是的强双偶)和(应用第3.24节与和)，我们得到断言。
在接下来的结果中，我们刻画了作用于类型的序列(LF)-空间上的加权复合算子何时为Montel。这个证明是定理2.2(3)和命题3.22和3.25的一个应用，考虑到对于一个权值系统，我们有，对于或，其中每个都是K?the阶梯形空间。
设为两个系统，权值在上，且随增加。让。假设它是正则的并且满足条件(M)，并且假设算子是连续的。那么下列断言是正确的:
(1）
如果，那么蒙特尔是如果，且仅当，对所有人来说存在这样的条件，对每一个和我们都有
(2）
如果是一个真映射，则是Montel If，且仅当，是Montel If，且仅当，对于所有的映射存在这样的条件，对于每一个和我们都有
定理3.26将作用于序列(LF)-空间的乘法算子的刻画推广到加权复合算子的情况，为[31]中给出的Montel，定理4.12。
下文中给出了作用于K?the阶梯形空间或作用于序列(LF)-型空间的加权复合算子是自反的充分必要条件。
对于，我们将证明作用于K?the梯级空间的加权复合算子是Montel的当且仅当，它是自反的。为了看到这一点，我们观察下面的情况。
设，是两个K?the矩阵，固定。假设它是连续的。然后我们有:
(i)
如果，根据舒尔定理(参见[42])，当且仅当的有界子集B是弱(相对)紧的，它是(相对)紧的。因此，它是自反的，当且仅当它是蒙特尔;
(2)
如果和是一个正递增映射，则当且仅当它是Montel映射时，我们声明它是自反的。我们只需要证明这个条件是必要的。假设这是自反的。根据Grothendieck[22]的结果(另见[27，第204页])，这意味着(见注释3.24)映射在。如果我们设，就得到这个。但是，这等价于说对于每一个数列在无穷远处消失，也就是说
因此，命题3.22中的条件(2)(见(3.7))被满足，因此命题被证明。
(3)
如果和是一个正递增映射，则加权复合运算符是自反的，当且仅当它是Montel。事实上，根据[19，推论2.3,2.4]，反身性的事实意味着它是反身的。因此，根据上文第(ii)点，我们可以得出结论，这是Montel。因此，根据命题3.25，也就是蒙特尔。
因此，我们可以给出第一个表征。证明是定理2.2(3)-(4)的应用和上面的考虑，考虑到对于一个权重系统，我们有，为或，其中每个是K?the序列空间。
为两个权值系统，且序列递增。让。假设它是正则的，并且满足条件()。此外，假设这是一个真映射。如果，那么是自反的如果，且仅当是蒙特尔。
我们现在考虑这种情况。由于和是自反的fr
空间([12，命题9])，所以加权组合算子显然是自反的。在这种情况下，以下特征是有效的。这个证明是定理3.1的一个明显的结果。
是两个权值系统，和。让。假设这是规则的。加权复合运算符是连续的当且仅当它是自反的。
定理3.27和3.28将作用于类型为的序列(LF)-空间上的自反乘法算子的刻画推广到加权复合算子的情况，分别在[31，定理4.13]和[31，命题4.14]中给出。
摘要
1 介绍
2 (LF)-和(PLB)-空间的定义和一般结果
3.序列(LF)-和(PLB)-空间之间的加权复合算子
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