5 可以用环面表示的类

　　6 一个回答问题的例子

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　　我们首先给出直角Artin组的一些背景。关于RAAGs的全面介绍，请参见Charney的调查论文[4]。

　　每一个有顶点集和边集的有限简单图都确定一个直角Artin群(RAAG)，即有表示的群

　　图1给出了几个图的示例及其相应的RAAGs。

　　图1

　　四个顶点上的四个图及其相应的rag

　　对于任意的简单图，相应的RAAG通常没有比定义2.1中给出的描述更好的描述。

　　为了研究RAAG的最小格问题，我们需要两个东西:首先是RAAG的分类空间的一个很好的模型，其次是一个描述第二个同调类的方法，因为最小格问题涉及到这些类。对于RAAGs，存在一个有限维的立方体复合体，称为Salvetti复合体，它是分类空间的模型。这个复合体是Salvetti在80年代为一般Artin群定义的[11]，是一个仅适用于RAAGs的立方体复合体。一般来说，不知道它是否总是一个分类空间，这是众所周知的猜想。因此，我们将定义限制为RAAGs。

　　给定一个简单的图和相应的RAAG, Salvetti复合体是立方体复合体，具有:

　　一个顶点，或0-cube;

　　一个边，或一个立方体，每个发生器，连接到两端;

　　每个边对应一个正方形或2-立方体，使用关系沿边界边缘连接到1-骨架上。每个正方形的图像都是2-骨架中的2-环面;

　　一个3-立方体，对于每一个三角形，通过与三角形的三条边对应的2-环面识别相对的边界正方形，连接到2-骨架上;和

　　一般来说，对于k-团中的每个k-团(k个顶点上的完整图)，通过用k-团中的-团对应的-环面识别相反的边界-立方体，将一个k-立方体附着在-骨架上。

　　在极端情况下，当有n个顶点的完全不相连的图时，Salvetti复合体是一朵有n个花瓣的玫瑰。另一方面，当是n个顶点的完全图时，Salvetti复形是一个n环面。对于一个中间的例子，设为平方;然后是玫瑰的产物。作为最后一个例子，假设有一条有3个顶点的直线;然后由两个环面组成，每个环面都沿着一个经度粘在一起。

　　([3])让我们画一个简单的图，相关的RAAG和Salvetti复合体。然后是分类空间的模型，或者换句话说，a。

　　的基本组是由结构组成的。万能覆盖是可收缩的这一事实源于它是一个局部CAT(0)立方体复形——这是RAAG的Salvetti复形所特有的性质。

　　(1-骨架的取向)在引理2.5中，我们隐式地选择了与的标识。这种识别自动赋予Salvetti复合物在其1-骨架上的首选取向。我们现在选择这样的标识，并在本文的其余部分中对其进行修正。

　　给定一个简单的图，

　　的顶点集和边集。

　　这个命题紧随Salvetti复合体的细胞链复合体。但有一个小小的警告，即这些同构隐含地选择Salvetti复合体的1细胞和2细胞的方向。在上面的注释中，我们已经选择了1单元格的方向，现在我们将解决如何选择2单元格的方向。我们首先定位:

　　每条边都有由有序对(v, w)和(w, v)给出的两个方向。的方向将是对每条边选择一个有方向的边——(v, w)或(w, v)。一个有方向的简单图称为有向图，我们用。

　　给定一个方向，我们通过考虑对偶来定位对应于有向边的2-cell，其中和分别表示对应于v和w的同调类的对偶(这里我们取关于命题2.7中顶点所给出的基的对偶)。请注意，since是的生成器，它的对偶是相应环面的方向，因此给出了2单元格的方向。杯形产品的不对称意味着用定向边(w, v)做相同的构造将产生相反的方向。

　　利用取向和诱导取向，我们得到了每个因子的正则生成器-我们设为取向边给出的取向2-cell对应的基元素，并对应于相同的方向相反的2-cell。这允许我们执行以下操作。

　　让我们用一个简单的图形来确定。为了用图形方法描述类，我们选择图形的方向;这相当于用箭头装饰每条边。如前段所述，……的方向决定了……的基础。

　　设为任意同调类，l(v, w)是向量中基向量的整数系数。的支持，表示为以下标记有向图:考虑由有向边(v, w)张成的有向子图，其中标记l(v, w)非零，并用非零整数标记l(v, w)标记这些边。

　　该支持唯一地确定了在有标签的面向图上的类直至以下关系:

　　当标签为零时，省略边缘上的整数标签。注意，底层图不依赖于所选择的方向，我们有时也将其视为无方向图的子图。

　　我们在这项工作中的主要工具之一是下面的矩阵，它来源于类的标记支持。

　　假设有一个简单的图和一个给定的类。根据前面的讨论，可以通过选择图的一个方向，并用适当的整数l(v, w)标记每个有方向的边来描述该类。该类的连接矩阵是一个方阵，其行和列以的顶点为索引，其矩阵条目为:

　　注意，连接矩阵是一个斜对称整数矩阵，由于定义2.10之前标记图上的关系，它与我们在描述为标记有向图时选择的方向无关。

　　现在我们给出一个同调类的例子，它的标记支持和它的连接矩阵。

　　设为有顶点的正方形，方向由。然后有和给出的基。

　　就位就位。那么连接矩阵是

　　图2是这些类的可视化表示，突出显示了它们的支持。

　　图2

　　和的例证

　　现在我们将定义最小属并讨论它的一些性质，特别是在群同调的情况下。参见[9]对最小属问题的介绍。

　　给定一个空间X和一个类，我们定义的最小格，记为一个紧致定向曲面的最小格，使得存在一个连续映射和in，其中表示同调上的诱导映射，是基本类，即的取向。这里可以有多个连通的分量，而不连通的曲面的曲面属是连通分量的属之和。我们说它可以用。

　　由于两个代表的不相交并表示对应的同调类的和，我们得到了下面的引理，将在后面拆分同调类时用到:

　　最小属是次加性的:

　　在这项工作中，我们对群的二阶积分同调类的极小格感兴趣——回忆一下，群G的同调被定义为其分类空间BG的同调[2,Section 2.4]。分类空间定义良好，直至同伦:它是一个K(G, 1)空间。同伦等价保持最小格，因此任何分类空间的模型都产生相同的最小格。

　　群G的第二同调类的极小格是群的分类空间BG中第二同调类的极小格。

　　在RAAGs的情况下，我们可以限制自己研究类的最小属。更准确地说，我们通过标记的有向图来定义我们的类，这具体指的是一个类，它有一个规范的基选择，如第2.9节所述。

　　此外，由于图的不相交并对应的rag具有由连通子图的Salvetti复形的楔形给出的Salvetti复形，因此我们还需要以下命题，该命题由[9，命题3.8]推导。

　　我们表示一个图，它是两个图的不相交并。然后

　　对于一个类，我们有

　　在本节的前半部分，我们用帽积给出了最小属的下界。第二部分用这个下界计算n环面上第二个同调类的最小格。

　　给定一个空间X和，回想一下[8,3.3节]，的帽积映射就是这个映射

　　这个映射引出了最小属的下界:

　　设X是任意空间。那么下面的不等式成立

　　我们首先做一个总的观察。假设是一个从空间Y到X的映射，让它们是任意类。如果和分别是在同调和上同调上的诱导映射，则为帽积

　　在于。

　　现在假设并表示，即是g属的一个可能不相连的定向曲面，其中是基本类。然后，由前面的观察，帽产品在于所有。因此，帽产品图的图像包含在最高级不超过2g的图像中。所以我们得到。

　　我们现在考虑一个简单的图和。在这种情况下，很容易使用连接矩阵(在定义2.11中引入)计算边界。

　　设一个简单的图，一个任意的类，和它的连接矩阵。那么连接矩阵也是帽积图的矩阵表示

　　相对于由1-骨架上的固定方向给出的基。

　　Salvetti综合体的2个骨架是空间的商

　　哪里是一个2环面(一个拷贝)。商映射和包含在二次同构上都是同构的。此外，包涵在1度和2度上诱导了同构的同调和上同构。的第一同调的可分辨基是由，X的第一同调的可分辨基是由和各自的对偶曲线给出。的第一个上同调的一组基由的每个元素v的对偶给出。商映射在上同调上推导出如下映射

　　这是X中映射到对应于下面v的圆in的圆的集合，因此每个代表一个类in并表示它的对偶in。与的生成器的顶积要么是对应的对偶曲线，要么是零，如果没有在环面上。换句话说，如果是定向的，p是，那么帽积由

　　符号取决于环面的方向。由于帽积是自然的和线性的，这就产生了期望的矩阵。

　　对于命题3.2的另一个证明，考虑来自阿贝尔化映射的包含。这个映射在第一次同构上得到一个同构，在第二次同构上得到一个注入。我们可以从环面的帽积结构中推断出结果。

　　将命题3.1和命题3.2放在一起，我们得到帽积不等式:

　　（1）

　　右边的，将被称为上限界。我们感兴趣的是帽积不等式何时是一个等式。

　　让我们表示一个图，它是图的不相交并，并假设对于所有和所有我们拥有的，那么对所有都成立。

　　注意，如果一个图有多个连接的组件，那么它的连接矩阵将是一个块矩阵。因此，一个类的上限界，其中来自于连接分量的第二同调的投影，将是其上限界的总和。把这个和命题2.16结合起来就得到了结果。

　　为了总结这一节，我们在使用帽界时计算最小格。在这种情况下，我们有额外的工具可以使用。首先，有一个分级环的同构

　　其中左边的环结构源于群的乘法，即它是庞特里亚金环结构。这意味着我们可以把它解释为一个偏对称的双线性形式。进一步，取左边的对偶，我们得到了分级环的同构

　　左边的环状结构由杯积给出。在这两个环同构下，帽积映射的矩阵表示

　　产生与解释为偏对称双线性形式相同的矩阵。

　　假设是一个有n个顶点的完全图。那么最小属总是通过环面的不相交并来实现的。此外，它等于所需表示的最小初等楔数，即形式的元素。

　　由于基群是阿贝尔的，所以2环体的不相交并可以作为n环体的任何第二个同调类的最小属代表。

　　现在假设我们有一个可以用环面表示的类，也就是映射。由于2环面和n环面是非球面的，所以映射在同伦范围内由基群上的诱导同态决定。因此，我们可以假设它是由给出的，对于某些基循环对，其中乘法是中的群运算。设[g]和[h]分别表示和在同构链下的象。然后根据身份证明

　　这样的地图发送一个生成器到基本楔形。

　　反之，设一个初等楔。选择明确的代表。则由映射到的生成器定义的映射，即可以用环面表示。

　　总而言之，这证明了任何的最小属都是需要表示的最小初等楔数，即形式的元素。

　　幸运的是，我们可以使用线性代数(在整数上)使用适当的斜对称整数矩阵来计算元素的最小初等楔数。

　　假设是一个有n个顶点的完全图。那么上限边界等于需要表示的最小初等楔形数。

　　这个纯代数问题的解是经典的。通过默默地认同它的对偶，我们可以认为它是一个偏对称的双线性形式(见命题3.5之前的讨论)。在此之后，根据文献[13]中的第14节(偏对称矩阵)，这样的偏对称双线性形式——表示为矩阵m——具有由标准双曲形式和零形式的整数倍的直接和组成的正规形式。这个标准形式如下所示，其中为。

　　设这样的基，作为具有上述范式(有k个双曲块)的矩阵，设表示矩阵图中所示的前2k个基向量，即按双曲形式配对。然后得出，它是k个初等楔的和。根据提案3.5，我们得到。显然，双曲块的数量k等于表示偏对称形式的矩阵M的秩的一半。最后，cap-product的矩阵表示产生与解释为偏对称双线性形式相同的矩阵M。因此，结合帽积不等式(Eq. 1)，我们得到。

　　综上所述，前面两个命题给出了我们的第一个主要结果:

　　设为完全图，即。n环面是一个分类空间和的模型。那么最小属就等于帽界。此外，最小属总是通过环面的不相交并来实现的。

　　根据帽积不等式(Eq. 1)和定理A，我们自然会问:

　　帽积不等式总是RAAG的等式吗?

　　本节对两大类rag给出了肯定的回答:

　　假设是一个完全二部图或树。那么最小属就等于帽界。此外，最小属可以通过环面的不相交并来实现。

　　由于对于完全二部图和树的证明是完全不同的，我们在两个单独的小节中处理它们，分别在定理4.2和4.14中达到高潮。

　　除非另有说明，在本小节中，我们假设这是一个完全二部有限图，即存在一个顶点的划分，使得in中的每条边都有端点，并且对于某些i, j，反过来，每对对应于in中的(唯一)边。其中和分别是由和生成的自由组。的元素被认为是单词vw，而不是有序对(v, w)。对于方向on，我们将选择有方向的边。我们分别为和中的和的图象写和。在此设置中，由for生成。

　　我们从构造可以用环面表示的类的例子开始。

　　设一个完全二部图并进行识别。对于任何和，类都可以用环面表示。

　　设由a和b生成。对于任意和，我们定义一个同态

　　利用辨识和直接计算表明，诱导同态映射的发生器到。由于和都是-空间，我们得到了一个映射，它在基本群上归纳，因此类可以用环面表示。

　　回想一下，一个类在视觉上是由带有方向的图形边缘上的整数标签表示的。该类有一个特殊的性质，即有一个整数标记的顶点，它以以下方式诱导边缘标记:边缘标记是通过将边缘的关联顶点上的顶点标记相乘得到的;顶点标号精确地表示正则基的坐标和关于正则基的坐标。如图3所示。

　　图3

　　一种其边标号由顶点标号诱导的类。顶点的二分划以黑色和白色显示

　　令人惊讶的是，这个简单的例子允许我们计算任何类的最小属。

　　设一个完全二部图。那么最小格等于帽界和纯张量的最小数量，即需要表示的形式的元素。此外，最小属总是通过环面的不相交并来实现的。

　　设一个完全二部图，有顶点，方向由。假设是一个任意类。我们想证明这一点。这自动成立，它是平凡的，所以我们可以假设它是非平凡的。回想一下，连接矩阵是

　　注意它是由前n行和后m列给出的子矩阵的秩的两倍。我们从案例开始。在这种情况下，子矩阵的行张成一个循环子群。这意味着存在一个非平凡的积分行向量和积分乘数，使得。换句话说，如果我们分别设和。根据引理4.1，这意味着可以用环面和表示。

　　更一般地说，假设。然后有k个线性无关的积分行m向量和k个积分n向量，使得和。和前面一样，这意味着我们设置和for的位置。但是每个求和都有一个由引理4.1表示的环面，以此类推。

　　特别地，这个定理描述了可以用环面表示的类，如引理4.1中所考虑的:

　　设一个完全二部图。一个类可以用环面表示当且仅当对于某些和。

　　相反的方向正是引理4.1中的构造。对于正方向，假设是非平凡的和。然后，根据定理4.2，这意味着对于一些和。

　　我们称一个简单的图为星形如果它由一个n价顶点，n条边和n个叶组成。换句话说，它是一个具有顶点分割的完全二部图。

　　下面的引理是引理4.1的另一个直接推论。

　　假设是任意一个简单的图。如果是一个星形，那么它可以用环面表示。

　　固定的方向。如果是一个带顶点集的星形，那么我们可以从顶点标签中归纳出相应的边标签:用1标记顶点w，用与边相同的标签标记顶点w。设为其边标签与的边标签匹配的类。通过引理4.1之后的讨论，类可以用环面表示。夹杂物与。因此，可以用环面表示。

　　在本小节中，我们计算树的最小属。回想一下，树是一个没有循环的简单图。我们的一些结果适用于一般的图，所以我们总是会对图做出明确的假设。

　　上限边界允许我们约束何时可以用环面表示的选项。

　　假设是任意一个简单的图。如果，则任意两条有不同顶点的边构成正方形的两条边。

　　假设满足，假设和是和的边。为简洁起见，设置。那么这个矩阵有如下的子矩阵:

　　如果两条边不相交，则所有和子矩阵的秩为4。这是矛盾的。如果和不构成正方形的另一种选择是只有一个或两个和非零。矩阵变成

　　这也是第4级，与假设相矛盾。

　　作为推论，任何可以用环面表示的类都有一个连接的支持。

　　让我们画一个简单的图。如果，则支架连接。

　　我们证明了对负性，假设它是非平凡的。假设支撑是断开的，并考虑从两个连接的组件中取两条边。那么这些边就不会形成一个正方形。根据引理4.6。

　　让我们做一棵树。当且仅当一个类是完全二部图(或者，另一种情况是，一个星形)时，该类可以用环面表示。

　　当陈述微不足道时，它是空洞的真。所以我们可以假设它是非平凡的。如果是完全二部图，则是星形图，因为是树。由引理4.5可知，它可以用环面表示。

　　反过来，假设它可以用环面表示，但不是完全二部图，即不是星。然后，由于可以用环面表示，因此由帽积不等式(Eq. 1)和推论4.7连接。并且，作为树，存在如下形式的子图:

　　k至少等于2。边和不能构成正方形的两边，因为是一棵树。根据引理4.6，我们有。这与帽积不等式(Eq. 1)相矛盾，假设可以用环面表示;因此，支持是一个完全二部图。

　　标记为l(v, w)的整数标记有向简单图的星覆盖是整数标记有向星图的有限集合，满足:

　　（1）

　　对于所有i，是的子图，上的方向由上的方向诱导;和

　　(2）

　　设为(v, w)的标记，如果它在，否则为0;对于所有有向边，我们需要。

　　我们用存在这样一个星覆盖的最小k来表示。我们也写了，现在我们认为是一个有标签的面向图。注意，这与选择描绘的方向无关。

　　在文献中，这种封面的无标签版本通常被称为顶点封面。由于我们的重点在于由标记定向边描述的同源类，因此我们使用术语星盖代替。

　　给定一个标记有向图的星形覆盖，存在一个具有相同基数的覆盖，使得所有的星形覆盖具有不相交的边集(它们的顶点集可能非平凡相交)。

　　假设多颗恒星有一个共同的有方向的边(v, w)对一些有标签。选择一个，从每一个星形中移除(v, w)。接下来，将标签更改为。对所有星星之间的公共边重复这个过程。

　　设任意有向简单图。从上到下最小格的星形覆盖的最小基数，即。

　　注意，先验地，RAAG的第二个同调类的最小属的上界是由支撑点中的边数给出的。这个命题对这个界限作了实质性的改进。

　　给定一个最小基数为(so)的星覆盖，根据引理4.11，我们可以假设这些星的边集是不相交的，即我们可以用的边标签来标记这些星的边。对于，我们将带有标记支持的类关联到星号，以便

　　根据引理4.5，我们知道for，因此从子可加性(引理2.14)可以得出

　　假设是一棵有向树。那么上限就等于。

　　由命题4.12，我们知道，由式1，这意味着。我们现在展示的是相反的不等式。结果很明显，如果是平凡的，那么我们可以假设它是非平凡的。

　　首先，我们假设它是连通的。设一个最小基数的星覆盖，使得所有的星都有不相交的边集(引理4.11)。我们按归纳法进行。如果，则是一颗星，根据第4.8号提案，。这意味着。假设这个定理对有。那么，由于是树，有如下形式

　　图中所示的星星是的叶子，这些星星形成了一个最小基数的星盖。然后是和的课。根据归纳假设，。

　　让你做一片叶子。如果只有一条边，则在星盖中存在另一条边(因为是连通的)。移除边缘，并将其与方向和标签一起添加到。这现在给出了一个相同基数的星覆盖，如上图所示。如果有两条或两条以上的边，我们就自动拥有，不需要修改。不管怎样，我们都假设它的选择是这样的。

　　考虑连接矩阵被限制为，且其中的顶点，令且其中的顶点集为。

　　注意这一点。因为，这是我们需要的相反的不等式。所以。

　　现在假设它是断开的。然后

　　对于某些连通的，l是连通分量的个数。然后由于所有的支撑点都有不相交，所以是一个以块为对角的矩阵。从计算秩可以得出

　　最后的等式来自于这个证明的第一部分应用到每一个。最后，我们注意到，由于每个都对应于的连通分量，所以的任何星覆盖都是的星覆盖的并集，反之亦然。根据要求。

　　让我们做一棵树。那么最小属就等于帽界，并且。此外，最小属总是通过环面的不相交并来实现的。

　　在树上固定方向。从4.12号提案中，我们知道。另一方面，从命题4.13和公式1的组合，我们有

　　把这两个不等式放在一起会得到。回想一下，根据引理4.5，最小基数星覆盖中的每个星都可以用一个环面来表示，并且这些环面的不相交并具有属。因此，最小属总是通过环面的不相交并来实现的。

　　在本节中，我们研究类的支持度与其最小属之间的关系。我们将自己限制在最小属为1的情况下，即类可以用环面表示。

　　回想一下，一个完全n部图有一个顶点的划分，使得对于每一个:

　　所有的顶点都有一条边连接在一起

　　中的任何一对顶点之间都不存在边。

　　对于任意图，我们也使用极大完全m部子图的概念。这是一个满子图Y，使得Y对于某些m是完全m-部的，并且V(Y)是对于任何k的所有满，完全k-部子图的最大值。注意，这样一个最大完全m-部子图不是唯一的。回忆一下，一个完整子图是一个继承了中存在的所有边的子图，即if和then。

　　让我们画一个简单的图。如果，则是某正整数n的完全n部图。

　　因为，支持是非空的，它遵循连接的推论4.7。

　　我们假设它对于任何整数都不是完全n部的，并朝着一个矛盾的方向努力。考虑与的极大完全m部子图Y。然后根据和的假设，既然是连通的，那么存在一个顶点w，通过一条边与Y中的某个顶点相连。

　　断言:如果w与某顶点in的边相连，则w与in的每一个顶点相连。

　　索赔证明。假设w的边是to，而不是to。我们考虑限制在w, x, y，和的连接矩阵。让和表示y和by之间的标签。标记是非零的，因为Y是的完备m部子图。(我们用星号标记不重要的条目。)

　　因为这是的子矩阵，而且它们都是非零的，这与假设相矛盾。这证明了这一说法。

　　因此，对于每一个，w要么连接到(in)中的所有顶点，要么不连接到。对于这个矛盾，我们现在排除了所有w和Y通过边相连的可能性。

　　首先，我们注意到w没有与所有的边相连，因为由w和V(Y)张成的完整子图将是一个比Y多一个顶点的完全部子图，这与Y的极大性相矛盾。

　　出于同样的原因，w不能被一条边连接到某个j的所有顶点，并且与断开:替换将导致w和V(Y)张成的完整子图是一个比Y多一个顶点的完整m部子图。

　　最后要检查的情况是当w不连接到l的时候，但是连接到的，for。在不丧失一般性的前提下，假设w与in的所有顶点断开，并通过一条边与in的所有顶点连接。则子矩阵为:

　　其中矩阵N没有零元素。然后，因为l大于1，因此(因为它们都是非零的)这与。

　　设是一个完全n部图。如果，则可以用环面表示。

　　它的阿贝尔化，以及从到它的阿贝尔化的映射对应于在顶点集上嵌入完全图。设在由阿贝尔化引起的二次同态上的同态映象。则连接矩阵相等，即。

　　回想一下，这是被认同的。因为，根据命题3.6，类是某些向量的初等楔形。

　　使用分区，写入每个分区在由生成的子组中的位置。的分割引起了对角块的块分解;这些对角线块必然是零矩阵，因为在顶点之间没有边。由于块对应于标识下的初等楔，因此可以得出它是平凡的。这意味着和是线性相关的，即存在向量和乘数，使得。

　　选择向量的提拉。由于每个元素都位于由生成的子组中，因此元素集成对交换，从而确定将标准基映射到的同态。设置和;利用和的同调群上的庞特里亚金环结构，我们看到，其中是由。由于阿贝尔化映射在第二同调上是内射的。根据命题3.5，初等楔形，因而它的象，可以用一个环面来表示。

　　把这部分的结果放在一起可以得到:

　　取任意一个简单的图。则非平凡第二同调类被环面表示当且仅当。进一步地，这种同调类的支持是一个完全n部图。

　　如果是非平凡的，那么自动。反之，如果，则是非平凡的，并且根据命题5.1，它的支持是某正整数n的完全n部图。必要时限制图并假设。根据命题5.2，类可以用一个环面表示。

　　在这最后一部分，我们回答以下问题:

　　在一个RAAG的第二同源中是否每个类都有一个最小的属代表是环面的不相交并?

　　一般来说，为了描述第二个同源类代表，我们使用Van Kampen图(参见[10]以获得更彻底的介绍)。这些图编码了一个紧凑表面的细胞结构，以及如何将细胞映射到连续空间X的信息:总的来说，这给出了一个细胞图。在我们的例子中，我们想要一个从表面到的映射，所以Van Kampen图是一个正方形的镶嵌，有方向的边缘被标记为顶点，这样正方形的相对边缘有相同的标记和方向，对于每个正方形。

　　（1）

　　所有的边都被同一个生成器标记，或者

　　(2）

　　边由两个生成器v和w标记，这样

　　图4

　　左边是带有与类对应的标签的方向图。右边是与地图相对应的Van Kampen图，其中除了在虚线的端点被粘合在一起的边缘外，未粘合的相对边缘被识别出来。具有相同装饰的顶点被识别

　　在1-骨架上，对应的映射是通过将每个顶点映射到Salvetti复合体中的单个顶点，并将每个边映射到与其标签对应的1-立方体(或圆)来给出的。由于一个正方形的边界被映射到它的标签的换向子上，当且仅当所述换向子消失时，1-骨架上的映射可以扩展到2-骨架上。在我们的例子中，这个成立，因为换易子是平凡的(上面的情况1)或者有一条边，所以换易子是平凡的(上面的情况2)。我们注意到这样的扩展在同伦以内是唯一的，因为它是平凡的。因此，Van Kampen图编码了一个映射，并且从[10]中的引理1.11可以得出，直到同伦，每个映射都以这样的方式出现。

　　设为图4所示的有向五边形。根据命题5.1，在五边形中可以用环面表示的任何类的支持是一条至多由两条边组成的线。因此任何具有完全支持的第二同调类都可以用不少于三个不相交环面来表示。以图4所示的类为例，完整的五边形也是如此。我们用图右侧的Van Kampen图展示了这类的一个2属代表。生成的曲面有3个顶点(对应于图片中的不同符号)，5个正方形，由于每条边都粘在另一条边上，所以它有10条边。所以欧拉特征是因此这个图确实代表了一个连通的封闭的2属可定向曲面。这给出了一个地图和一个生成器的图像——看到这个，注意Van Kampen图中每个2个单元格的数量和方向。

　　这个例子给出了问题2的否定答案，从而证明了我们的最终定理。

　　存在一个具有第二同源类的RAAG，其最小属代表不能通过环面的不相交并来实现。

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